《不等式的性质（5篇）》
不等式的性质 篇1
教学目标
1.理解不等式的性质，掌握不等式各个性质的条件和结论之间的逻辑关系，并掌握它们的证明方法以及功能、运用；
2.掌握两个实数比较大小的一般方法；
3.通过不等式性质证明的学习，提高学生逻辑推论的能力；
4.提高本节内容的学习，；培养学生条理思维的习惯和认真严谨的学习态度；
教学建议
1.教材分析
（1）知识结构
本节首先通过数形结合，给出了比较实数大小的方法，在这个基础上，给出了不等式的性质，一共讲了五个定理和三个推论，并给出了严格的证明。
知识结构图
（2）重点、难点分析
在“不等式的性质”一节中，联系了实数和数轴的对应关系、比较实数大小的方法，复习了初中学过的不等式的基本性质。
不等式的性质是穿越本章内容的一条主线，无论是算术平均数与几何平均数的定理的证明及其应用，不等式的证明和解一些简单的不等式，无不以不等式的性质作为基础。
本节的重点是《·》比较两个实数的大小，不等式的五个定理和三个推论；难点是不等式的性质成立的条件及其它的应用。
①比较实数的大小
教材运用数形结合的观点，从实数与数轴上的点一一对应出发， 与初中学过的知识“在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大”利用数轴可以比较数的大小。
指出比较两实数大小的方法是求差比较法：
比较两个实数a与b的大小，归结为判断它们的差a－b的符号，而这又必然归结到实数运算的符号法则。
比较两个代数式的大小，实际上是比较它们的值的大小，而这又归结为判断它们的差的符号。
②理清不等式的几个性质的关系
教材中的不等式共5个定理3个推论，是从证明过程安排顺序的。从这几个性质的分类来说，可以分为三类：
（Ⅰ）不等式的理论性质： （对称性）
（传递性）
（Ⅱ）一个不等式的性质：
(n∈N，n＞1)
(n∈N，n＞1)
（Ⅲ）两个不等式的性质：
2.教法建议
本节课的核心是培养学生的变形技能，训练学生的推理能力。为今后证明不等式、解不等式的学习奠定技能上和理论上的基础。
授课方法可以采取讲授与问答相结合的方式。通过问答形式不断地给学生设置疑问（即：设疑）；对教学难点 ，再由讲授形式解决疑问。（即：解疑）.主要思路是：教师设疑→学生讨论→教师启发→解疑。
教学过程 可分为：发现定理、定理证明、定理应用，采用由形象思维到抽象思维的过渡，发现定理、证明定理。采用类比联想，变形转化，应用定理或应用定理的证明思路；解决一些较简单的证明题。
第一课时
教学目标
1.掌握实数的运算性质与大小顺序间关系；
2.掌握求差法比较两实数或代数式大小；
3.强调数形结合思想。
教学重点
比较两实数大小
教学难点
理解实数运算的符号法则
启发式
教学过程
一、复习回顾
我们知道，实数与数轴上的点是一一对应的，在数轴上不同的两点中，右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大。例如，在右图中，点A表示实数 ，点B表示实数 ,点A在点B右边，那么 .
我们再看右图， 表示 减去 所得的差是一个大于0的数即正数。一般地：
若 ，则 是正数；逆命题也正确。
类似地，若，则 是负数；若 ，则 .它们的逆命题都正确。
这就是说：（打出幻灯片1）
由此可见，要比较两个实数的大小，只要考察它们的差就可以了，这也是我们这节课将要学习的主要内容。
二、讲授新课
1. 比较两实数大小的方法——求差比较法
比较两个实数 与 的大小，归结为判断它们的差 的符号，而这又必然归结到实数运算的符号法则。
比较两个代数式的大小，实际上是比较它们的值的大小，而这又归结为判断它们的差的符号。
接下来，我们通过具体的例题来熟悉求差比较法。
2. 例题讲解
例1 比较 与 的大小。
分析：此题属于两代数式比较大小，实际上是比较它们的值的大小，可以作差，然后展开，合并同类项之后，判断差值正负，并根据实数运算的符号法则来得出两个代数式的大小。
解：
∴
例2 已知，比较（ 与 的大小。
分析：此题与例1基本类似，也属于两个代数式比较大小，但是其中的x有一定的限制，应该在对差值正负判断时引起注意，对于限制条件的应用经常被学生所忽略。
由 得 ，从而
请同学们想一想，在例2中，如果没有 这个条件，那么比较的结果如何？
（学生回答：若没有 这一条件，则 ，从而 大于或等于 ）
为了使大家进一步掌握求差比较法，我们来进行下面的练习。
三、课堂练习
1.比较 的大小。
2.如果 ，比较 的大小。
3.已知，比较 与 的大小。
要求：学生板演练习，老师讲评，并强调学生注意加限制条件的题目。
课堂小结
通过本节学习，大家要明确实数运算的符号法则， 掌握求差比较法来比较两实数或代数式的大小。
课后作业
习题6.1 1，2，3.
板书设计
§6.1.1 不等式的性质
1.求差比较法 例1 学生
……
例2 板演
……
不等式的性质 篇2
9.1.2 不等式的性质（2）
教学目标 1、会根据“不等式性质1 "解简单的一元一次不等式，并能在数轴上表示其解集；
2、学会运用类比思想来解不等式，培养学生观察、分析和归纳的能力；
3、在积极参与数学活动的过程中，培养学生大胆猜想、勇于发言与合作交流的意识和实事求是的态度以及独立思考的习惯。
教学难点 根据“不等式性质1”正确地解一元一次不等式。
知识重点 根据“不等式性质1”正确地解一元一次不等式。
教学过程（师生活动） 设计理念
提出问题 小希就读的学校上午第一节课上课时间是8点开始。小希家距学校有2千米，而他的步行速度为每小时10千米。那么，小希上午几点从家里出发才能保证不迟到？
1、 若设小希2、 上午x点从家里出发才能不3、 迟到，4、 则x应满足怎样的关系式？
5、 你会解这个不6、 等式吗？请说说解的过程。
7、 你能把这个不8、 等式的解集在数轴上表示出来吗？ 设里一个学生很熟悉的问题情境，能增强亲和力。经历由具体的实例建立不等式模型的过程，既可让学生感受不等式在实际生活中的应用，又非常自然地引入新课。
探究新知 1、 分组探讨：对上述三个问题，2、 你是如何考虑的？先独立思考然后组内交流，3、 作出记录，4、 最后各组派代表发主。
5、 在学生充分讨论的基础上，6、 师生共同7、 归纳得出：
（1） x应满足的关系是： ≤8
（2） 根据“不（3） 等式性质1”,在不（4） 等式的两边减去 ，（5） 得：x＋ －（6） ≤8－（7） ，（8） 即x≤
（9） 这个不（10） 等式的解集在数轴上表示如下：
我们在表示 的点上画实心圆点，意思是取值范围包括这个数。
8、 例题
解下列不等式，并在数轴上表示解集：
（1）3x < 2x＋1 （2）3－5x ≥ 4－6x
师生共同探讨后得出：上述求解过程相当于由3x<
2x+1，得3x-2x < 1；由3－5x≥4－6x，得－5x+6x≥4-3.这类似于解方程中的“移项”。可见，解不等式也可以“移项”，即把不等式一边的某项变号后移到另一边，而不改变不等号的方向。
最后由教师完整地板书解题过程。 培养学生主动参与、合作交流的意识，提主同学生的观察、分析、概括和抽象能力
强调“≤”与“<”在意义上和数轴表示上的区别。
类比解方程的方法，让学生初步感觉不等式与方程的关系。
巩固新知 1、解下列不等式，并在数轴上表示解集：
（1）x＋5＞－1（2）4x < 3x-5（3）8x-2 < 7x＋3
2、用不等式表示下列语句并写出解集：
（1）x与3的和不小于6；
（2）y与1的差不大于0. 进一步巩固所学知识。
解决问题
1、某容器呈长方体形状，长5 cm，宽3 cm，高10 cm.容器内原有水的高度为3 cm。现准备继续向它注水。用v cm,示新注入水的体积，写出v的取值范围。
2、三角形任意两边之差与第三边有着怎样的大小关系？ 提出这类实际问题，容易引起学生关注，激发他们参与学习
的热情。同时能体会到生活中蕴含着数学知识，反过来数学知识又帮助解决了生活中的许多实际问题，从而感受到新知识的用途。
总结归纳 师生共同归纳本节课所学内容：通过学习，我们学会了简单的一元一次不等式的解法。还明白了生活中的许多实际问题都是可以用不等式的知识去解决的。
小结与作业
布置作业 1、必做题：教科书第134页习题9.1第6题（1）（2）
2、选做题：教科书第134页习题9、12题。
本课教育评注（课堂设计理念，实际教学效果及改进设想）
本课从发生在学生身边的事情入手，创设问题情境，激发学生的学习兴趣和求知欲望。以问题为中心，使每一位学生都能积极思考，发散思维。让学生在“做数学”的过程中，亲身体验问题的发生、发现、发展与解决的全过程，采取自主探索、合作交流、深人研讨、步步为营的措施，为学生营造一个自主学习、主动发展的广阔空间，开辟探究、研讨、解决问题的广阔天地，使学生快快乐乐地成为学习的主人。
教学要以实际生活为背景。学生亲身经历过现实问题数学化的过程，就会获得富有生命力的数学知识，进一步认识数学，体验数学的价值。只有让学生真切地体会到生活中处处有数学，才有生活中处处用数学的可能，以此培养学生的应用意识。
教师在教学中要敢于打破教材格局。本课对教材作出全新的调整，注重以问题为线索来探究不等式的解法，再用所学知识去解决问题。放开手脚让每个学生从不同的角度、用不同的方法充分展现“自我”，真正构建起学生的课堂主人的地位，使他们的思维能力、情感态度和价值观念等各个方面都能迈上一个新的台阶。
不等式的性质 篇3
9.1.2 不等式的性质（3）
教学目标 1、使学生熟练掌握一元一次不等式的解法，初步认识一元一次不等式的应用价值；
2、对比一元一次不等式的解法与一元一次方程的解法，让学生感知不等式和方程的不同作用与内在联系，体会其中渗透的类比思想；
3、让学生在分组活动和班级交流的过程中，积累数学活动的经验并感受成功的喜悦，从而增强学习数学的自信心。
教学难点 熟练并准确地解一元一次不等式。
知识重点 熟练并准确地解一元一次不等式。
教学过程（师生活动） 设计理念
提出问题 某地庆典活动需燃放某种***。为确保人身安全，要求燃放者在点燃***后于燃放前转移到10米以外的地方。已知***的燃烧速度为0.02 m/s,人离开的速度是4 m/s，***的长x(m)应满足怎样的关系式？
你会运用已学知识解这个不等式吗？请你说说解这个不等式的过程。 以学生身边的事例为背景，突出不等式与现实的联系，这个问题为契机引入新课，可以激发学生的学习兴趣。
探究新知 1、在学生充分发表意见的基础上，师生共同归纳出这个不等式的解法。教师规范地板书解的过程。
2、例题。
解下列不等式，并在数轴上表示解集：
（1） x ≤ 50 (2)-4x < 3
(3) 7－3x≤10 （4）2x-3 < 3x＋1
分组活动。先独立思考，然后请4名学生上来板演，其余同学组内相互交流，作出记录，最后各组选派代表发言，点评板演情况。教师作总结讲评并示范解题格式。
3、教师提问：从以上的求解过程中，你比较出它与解方程有什么异同？
让学生展开充分讨论，体会不等式和方程的内在联系与不同之处。 不同层次的学生经过尝试会有不同的收获。一些学生能独
立解决；还有一些学生虽不能解答，但在老师的引导下也能受到启发，这比单纯的教师讲解更能调动学习的积极性。另外，由学生自己来纠错，可培养他们的批
判性思维和语言表达能力。
比较不等式与解方程的异同中渗透着类比思想。
巩固新知 1、解下列不等式，并在数轴上表示解集：
（1） （2）－8x < 10
2、用不等式表示下列语句并写出解集：
（1）x的3倍大于或等于1； （2）y的 的差不大于－2.
解决问题 测量一棵树的树围（树干的周长）可以计算它的树龄一般规定以树干离地面1.5 m的地方作为测量部位。某树栽种时的树围为5 cm,以后树围每年增加约3 cm.这棵树至少生一长多少年，其树围才能超过2.4 m? 让学生在解决问题的过程中深刻感悟数学来源于实践，又服务于实践，以培养他们的数学应用意识。
总结归纳 围绕以下几个问题：
1、这节课的主要内容是什么？
2、通过学习，我取得了哪些收获？
3、还有哪些问题需要注意？
让学生自己归纳，教师仅做必要的补充和点拨。 让学生自己归纳小结，给学生创造自我评价和自我表现的机会，以达到激发兴趣、巩固知识的目的。
小结与作业
布置作业 1、必做题：教科书第134~135页习题9.1第6题（3）（4）第10题。
2、选做题：教科书第135页习题9、12题。
本课教育评注（课堂设计理念，实际教学效果及改进设想）
通过创设与学生实际生活密切联系的向题情境，并由学生根据自己掌握的知识与经验列出不等式，探究它的解法，可以激发学生的学习动力，唤起他们的求知欲望，促使学生动脑、动手、动口，积极参与教学的整个过程，在教师的指导下，主动地、生动活泼地、富有个性地学习。
新课程理念要求教师向学生提供充分的从事数学活动的机会。本课教学过程中贯穿了“尝试—引导—示范—归纳—练习—点评”等一系列环节，旨在改变学生的学习方式，将被动的、接受式的学习方式转变为动手实践、自主探索和合作交流等方式。教师的组织者、引导者与合作者的角色在这节课中得到了充分的演绎。 教师要尊重学生的个体差异，满足多样化学习的需求。对学习确实有困难的学生，要及时给予关心和帮助，鼓励他们主动参与数学学习活动，尝试着用自己的方式去解决问题，勇于发表自己的观点。除了演好组织者、引导者的角色外，教师还应争当“伯乐”和“雷锋”，多给学生以赞许、鼓励、关爱和帮助，让他们在积极愉悦的氛围中努力学习。
不等式的性质 篇4
9.1.2 不等式的性质（1）
教学目标 1、经历通过类比、猜测、验证发现不等式性质的探索过程，掌握不等式的性质；
2、初步体会不等式与等式的异同；
3、通过创设问题情境和实验探究活动，积极引导学生参与数学活动，提高学习数学的兴趣，增进学习数学的信心，体会在解决问题的过程中与他人交流合作的重要性。
教学难点 正确运用不等式的性质。
知识重点 理解并掌握不等式的性质。
教学过程（师生活动） 设计理念
提出问题 教师出示天平，并请学生仔细观察老师的操作过程，回答下列问题：
1、天平被调整到什么状态？
2、给不平衡的天平两边同时加人相同质量的砝码，天平会有什么变化？
3、不平衡的天平两边同时拿掉相同质量的砝码，天平会有什么变化？
4、如果对不平衡的天平两边砝码的质量同时扩大相同的倍数，天平会平衡吗？缩小相同的倍数呢？ 通过天平演示，结合自己的观察和思考，让学生感受生活中的不等关系。
探究新知 1、用“＞”或“＜”填空。
（1）－1 < 3 －1＋2 3＋2 －1－3 3－3
(2) 5 >3 5＋a 3+a 5－a 3－a
(3) 6 > 2 6×5 2×5 6×（－5）2×（－5）
(4) －2 < 3（－2）×6 3×6
（－2）×（－6） 3×（一6）
（5）－4 ＞－6 （－4）÷2（－6）÷2
（－4）十（－2） （－6）十（－2）
2、从以上练习中，你发现了什么？请你再用几个例子试一试，还有类似的结论吗？请把你的发现告诉同学们并与他们交流。
3、让学生充分发表“发现”，师生共同归纳得出：
不等式性质1：不等式两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变。
不等式性质2：不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
不等式性质3：不等式两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
4、你能说出不等式性质与等式性质的相同之处与不同
之处吗？ 通过动手、动口、动脑，引导学生运用类比、归纳的数学思想去探究问题，在品尝成功的喜悦中激发出学数学的兴趣。
渗透类比思想。
探究新知 4、 下列哪些是不5、 等式x＋3 > 6的解？哪些不6、 是？
－4，－2. 5，0，1，2.5，3，3.2，4.8，8，12
2、直接想出不等式的解集，并在数轴上表示出来：
（1）x＋3 > 6（2）2x < 8（3）x－2 > 0
巩固新知 1、 判断
（1）∵a < b ∴ a－b < b－b
（2）∵a < b ∴
（3）∵a < b ∴ －2a < －2b
（4）∵－2a > 0 ∴ a > 0
（5）∵－a < 0 ∴ a < 3
2、 填空
（1）∵ 2a > 3a ∴ a是 数
（2）∵ ∴ a是 数
（3）∵ax < a且 x > 1 ∴ a是 数
3、 根据下列已知条件，4、 说出a与b的不5、 等关系，6、 并说明是根据不7、 等式哪一条性质。
（1）a－3 > b－3 （2）
（3）－4a > －4b 设置这几个练习，既可以培养学生独立思考的能力，又可强化对概念的理解，使学生真正认识不等式的性质。
总结归纳
在学生自己总结的基础上，教师应强调两点：
1、等式性质与不等式性质的不同之处；
2、在运用“不等式性质3"时应注意的问题。 学生通过总结，可以帮助自
己从整体上把握本节课所学知
识，培养良好的学习习惯，也为
下节课学好解不等式打下基础。
小结与作业
布置作业 1、必做题：教科书第134页习题9.1第4、5题
2、选做题：教科书第134页习题9. 1第7题。
3、备选题：
本课教育评注（课堂设计理念，实际教学效果及改进设想）
本节课设计旨在让学生经历通过实验、猜测、验证，发现不等式性质的探索过程。用类比和实验探究法作为主要方法贯穿整个课堂教学之中，并以多媒体作为辅助教学手段。让学生充分进行讨论交流，在自主探索和合作学习中掌握不等式的性质。这样就能有效地突破本节课的难点，为学生今后的学习打下坚实的基础。
教学过程中贯穿了一条“创设情境，引出新知—实验讨论，得出性质—探究辨析，突破难点—运用性质，解决问题”的线索，使学生真正成为学习的主人。在师生交流合作中营造互动的氛围，让学生积极主动地参与教学的整个过程，使他们的学习态度、情感意志和个性品质等都得到不同程度的提高。
为了突破教学难点，让学生能熟练准确地运用“不等式性质3"，本课设计了多样化的练习以巩固所学知识。在学生回答、板演、讨论的过程中，课堂气氛被激活，教学难点被突破，使学生在轻松愉快的氛围中扎实地掌握性质并灵活运用。同时，学习伙伴之间进行了思维的碰撞和沟通。
不等式的性质 篇5
探究活动
能得到什么结论
题目 已知 且 ,你能够推出什么结论？
分析与解：由条件推出结论，我们可以考虑把已知条件的变量范围扩大，对已知变量作运算，运用不等式的性质，或者跳出不等式去考虑一般的数学表达式。
思路一：改变 的范围，可得：
1. 且 ;
2. 且 ;
思路二：由已知变量作运算，可得：
3. 且 ;
4. 且 ;
5. 且 ;
6. 且 ;
7. 且 ;
思路三：考虑含有 的数学表达式具有的性质，可得：
8. (其中 为实常数)是三次方程；
9. (其中 为常数)的图象不可能表示直线。
说明 从已知信息能够推出什么结论？这是我们经常需要思考的问题，这里给出的都是必要非充分条件，读者可以考虑是否能够写出充要条件；另外，运用推出关系的传递性，在推出结论的基础上进一步进行推理，还可得出很多结果，请读者考虑。
探究关系式是否成立的问题
题目 当 成立时，关系式 是否成立？若成立，加以证实；若不成立，说明理由。
解：因为 ,所以 ,所以 ,
所以 ,
所以 或
所以 或
所以 或
所以 不可能成立。
说明：像本例这样的探索题，题目的结论是“两可”(即两种可能性)情形，而我们知道，说明结论不成立可像例1那样举一个反例就可以了。不过像本例的执果索因的分析，不仅说明结论不成立，而且得出 , 必须同时大于1或同时小于1的结论。
探讨增加什么条件使命题成立
例 适当增加条件，使下列命题各命题成立：
(1)若 ,则 ;
(2)若 ,则 ;
(3)若 , ,则 ;
(4)若 ,则
思路分析：本例为条件型开放题，需要依据不等式的性质，寻找使结论成立时所缺少的一个条件。
解：(1)
(2) 。当 时，
当 时，
(3)
(4)
引申发散对命题(3),能否增加条件 ,或 , ,使其成立？请阐述你的理由。