《分式的运算教学设计【最新13篇】》

1。分式说课稿

分 式 1

一、教学过程 

【复习提问】

1.分式的基本性质？

2.分式的变号法则？

【新课】

数学小笑话：（配上漫画插图幻灯片）

从前有个不学无术的富家子弟，有一次，父母出远门去办事，把他交给厨师照看，厨师问他：“我每天三餐每顿给你做两个馒头，够吗？”他哭丧着脸说：“不够，不够！”厨师又问：“那我就一天给你吃六个，怎么样？”他马上欣喜地说：“够了！够了！”

问：这个富家子弟为什么会犯这样的错误？

分数约分的方法及依据是什么？

1.提出课题：分式可不可以约分？根据什么？怎样约分？约到何时为止？

学生分组讨论，最终达成共识。

2.教师小结：

（1）约分的概念：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。

（2）分式约分的依据：分式的基本性质。

（3）分式约分的方法：把分式的分子与分母分解因式，然后约去分子与分母的公因式。

（4）最简分式的概念：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。

3.例题与练习：

例1 约分：

（1）；

请学生观察思考：①有没有公因式？②公因式是什么？

解：.

小结：①分式的分子、分母都是几个因式的积的形式，所以约去分子、分母中相同因式的最低次幂，注意系数也要约分。②分子或分母的系数是负数时，一般先把负号提到分式本身的前边。

（2）；

请学生分析如何约分。

解：.

小结：①当分式的分子、分母为多项式时，先要进行因式分解，才能够依据分式的基本性质进行约分。②注意对分子、分母符号的处理。

（3）；

解：原式。

（4）；

解：原式

.

（5）；

解：原式。

例2  化简求值：

.其中，.

分析：约分是实现化简分式的一种手段，通过约分可把分式化成最简，而最简分式为分式间的进一步运算提供了便利条件。

解：原式。

当，时。

.

二、随堂练习

教材P65练习1、2.

三、总结、扩展

1.约分的依据是分式的基本性质。

2.若分式的分子、分母都是几个因式的积的形式，则约去分子、分母中相同因式的最低次幂，分子、分母和系数约去它们的最大公约数。

3.若分式的分子、分母中有多项式，则要先分解因式，再约分。

四、布置作业

教材P73中2、3.

补充思考讨论题：

1.将下列各式约分：

（1）；（2）；

（3）

2.已知，则

五、板书设计 

分式的运算教学设计 2

学习目标：

(一)知识与技能目标

使学生理解并掌握分式的乘除法则，运用法则进行运算，能解决一些与分式有关的实际问题。

（二）过程与方法目标

经历探索分式的乘除运算法则的过程，并能结合具体情境说明其合理性

（三）情感与价值目标

渗透类比转化的思想，让学生在学知识的同时学到方法，受到思维训练。

学习重点：掌握分式的乘除运算。

学习难点：分子、分母为多项式的分式乘除法运算。

教学过程

一、情境引入：

你还记得分数的乘除法法则吗？你能用类似于分数的乘除法法则计算下面两题吗？

（1） = （2） =

二、探究学习：

（1）你能说出前面两道题的计算结果吗？

（2）你能验证分式乘。除运算法则是合理的。正确的吗？

（3）类比分数的乘除法则，你能从计算中总结出怎样进行分式的乘除法运算吗？

归纳小结：

（1）分式的乘法法则：分式乘以分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母。 即： ab ×cd =acbd 。

（2）分式的`除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。 即：ab ÷cd =ab ×dc ＝adbc 。

（3）分式的乘方法则：分式乘方是把分子、分母各自乘方。即：( ab )n＝anbn

三、典型例题：

例1、计算：1. . 2。（ ）

例2、计算、1. 2.

归纳小结：分式的乘法运算，先把分子、分母分别相乘，然后再进行约分；进行分式除法运算，需转化为乘法运算；根据乘法法则，应先把分子、分母分别相乘，化成一个分式后再进行约分，但在实际演算时，这样做显得较繁琐，因此，可根据情况先约分，再相乘，这样做有时简单易行，又不易出错。

四、反馈练习：

（1） (2) .

(3) （a-4）. (4)

五、探究交流： （1）在夏季你是怎么挑选西瓜的呢？

（2）�

2、当分式的分子、分母为多项式时，先要进行因式分解，才能够依据分式的基本性质进行约分。

【课后作业】

班级 姓名 学号

1、 填空

（1） （2）

（3） （4）

（5） = （6）

（7）若代数式 有意义，则x的取值范围是__________.

2、选择

(1)下列各式计算正确的是 ( )

A. ; B.

C. ; D.

(2)下列各式的计算过程及结果都正确的是 （ ）

A.

B.

C.

D.

（3）当 ， 时，代数式 的值为（ ）

A.49 B.-49 C.3954 D.-3954

（4）计算 与 的结果 （ ）

A.相等 B.互为倒数 C.互为相反数 D.以上都不对

（5）若x等于它的倒数，则 的值是 （ ）

A.-3 B.-2 C.-1 D.0

3、计算

（1） （2）

4、中考链接（选作题）

已知aba＋b ＝13 ，bcb＋c ＝14 ，aca＋c ＝15 ，求代数式abcab＋bc＋ac 的值。

分 式 3

一、教学目标 

1.使学生理解分式方程的意义。

2.使学生掌握的一般解法。

3.了解解分式方程时可能产生增根的原因，并掌握解分式方程的验很方法。

4.在学生掌握了分式方程的一般解法和分式方程验根方法的基础上，使学生进一步掌握的解法，使学生熟练掌握解分式方程的技巧。

5.通过学习分式方程的解法，使学生理解解分式方程的基本思想是把分式方程转化成整式方程，把未知问题转化成已知问题，从而渗透数学的转化思想。

二、教学重点和难点

1.教学重点：

(1)的解法。

(2)分式方程转化为整式方程的方法及其中的转化思想。

2.教学难点 ：理解解分式方程时产生增根的原因。

三、教学方法

启发式设问和同学讨论相结合，使同学在讨论中解决问题，掌握分式方程解法。

四、教学手段

演示法和同学练习相结合，以练

五、教学过程 

(一)复习及引入新课

1.提问：什么叫方程？什么叫方程的解？

答：含有未知数的等式叫做方程。

使方程两边相等的未知数的值，叫做方程的解。

2.

解：(1)当 时，

左边= ，

右边=0，

∴左边=右边，

∴

(2)

(3)

3、在本章开始我们曾提出一个问题，经过分析得到问题的量为两个分式： ， 根据量间的关系列出方程：

这个方程和我们以前所见过的方程不同，它的主要特点是：分母中含有未知数，这种方程就是我们今天要研究的分式方程。

(二)新课

板书课题：

板书：分式方程的定义。

分母里含有未知数的方程叫分式方程.以前学过的方程都是整式方程。

练习：判断下列各式哪个是分式方程。（投影）

(1) ； (2) ； (3) ；

(4) ； (5)

在学生回答的基础上指出(1)、(2)是整式方程，(3)是分式，(4)(5)是分式方程。

1、如何求解方程 ？

先由同学讨论如何解这个方程。

在同学讨论的基础上分析：由于我们比较熟悉整式方程的解法，所以要把分式方程转化为整式方程，其关键是去掉含有未知数的分母。如何去掉？方程两边同乘最简公分母。

解：两边同乘以最简公分母x(x-6)得

90(x-6)=60x解这个整式方程得x=18.

如果我们想检验一下这种方法，就需要检验一下所求出的数是不是方程的解。

检验：把x=18代入原方程

,

左边=右边

∴x=18是原方程的解。

2、如何解方程 ?

此题可由学生讨论解决。

解：方程两边同乘最简公分母(x+1)(x-1),得整式方程x+1=2

解整式方程，得x=1.

x=1时原方程的解是否正确？

检验：将x=1代入原方程，可知x=1使分式方程两边的分式分母均为零，这两个分式没意义，因此x=1不是原分式方程的解。

∴原方程无解。

讨论：1、2两题都是方程两边同除最简公分母将分式方程转化为整式方程，为什么2求出的x=1不是原方程的解，而我们又得到了x=1呢？

分析：方程同解原理2指出：方程的两边都乘以不等于零的同一个数，所得的方程与原方程同解。

在解1中，方程两边都乘以x(x-6)，接着求出x=18，而当x=18时，2(x+5)=216，所以相当于方程两边都乘以16(≠0)，因此所得的整式方程与原方程同解。

在解2中，方程两边都乘以(x+1)(x-1)，接着求出x=1，相当于方程两边都乘以零，结果使原方程无意义，这样得到的整式方程与原方程不同解。

像这样，在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根.

注意：由分式方程转化为一元一次方程过程中，要去分母就必须同乘一个整式，但整式可能为零，不能满足方程变换同解的原则，就使得分式方程可能产生增根，因此解分式方程后就必须检验。

由此可以想到，只要把求得的x的值代入所乘的整式(即最简公分母)，若该式的值不等于零，则是原方程的根；若该式的值为零，则是原方程的增根。如能保证求解过程正确，则这种验根方法比较简便。

例1、解方程

对于例题给学生示范做题的格式、步骤。 （投影显示步骤格式）

解：方程两边同乘x(x-2)，约去分母，得

5(x-2)=7x解这个整式方程，得

x=5.

检验：把x=-5代入最简公分母

x(x-2)=35≠0，

∴x=-5是原方程的解。

例2、解方程

解：方程两边同乘最简公分母(x-2)，约去分母，得

1=x-1-3(x-2). （ -3这项不要忘乘）

解这个整式方程，得

x=2.

检验：当x=2时，代入最简公分母(x-2)=0，

∴x=2是增根，

∴原方程无解。

注意：要求学生一定要严格按解题格式步骤完成。

(三)总结

解分式方程的一般步骤：

1.在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化为整式方程。

2.解这个整式方程。

3.把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去。

(四)练习

教材P.98中1由学生在黑板上写，教师订正。

六、作业 

教材P.101中1.

七、板书设计 

分 式 4

分式的基本性质

一、教学目标

1.理解分式的基本性质。

2.会用分式的基本性质将分式变形。

二、重点、难点

1.重点： 理解分式的基本性质。

2.难点： 灵活应用分式的基本性质将分式变形。

3.认知难点与突破方法

教学难点是灵活应用分式的基本性质将分式变形。 突破的方法是通过复习分数的通分、约分总结出分数的基本性质，再用类比的方法得出分式的基本性质。应用分式的基本性质导出通分、约分的概念，使学生在理解的基础上灵活地将分式变形。

三、例、习题的意图分析

1.P7的例2是使学生观察等式左右的已知的分母（或分子），乘以或除以了什么整式，然后应用分式的基本性质，相应地把分子（或分母）乘以或除以了这个整式，填到括号里作为答案，使分式的值不变。

2.P9的例3、例4地目的是进一步运用分式的基本性质进行约分、通分。值得注意的是：约分是要找准分子和分母的公因式，最后的结果要是最简分式；通分是要正确地确定各个分母的最简公分母，一般的取系数的最小公倍数，以及所有因式的次幂的积，作为最简公分母。

教师要讲清方法，还要及时地纠正学生做题时出现的错误，使学生在做提示加深对相应概念及方法的理解。

3.P11习题16.1的第5题是：不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“-”号。这一类题教材里没有例题，但它也是由分式的基本性质得出分子、分母和分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变。

“不改变分式的值，使分式的分子和分母都不含‘-’号”是分式的基本性质的应用之一，所以补充例5.

四、课堂引入

1.请同学们考虑： 与 相等吗？ 与 相等吗？为什么？

2.说出 与 之间变形的过程， 与 之间变形的过程，并说出变形依据？

3.提问分数的基本性质，让学生类比猜想出分式的基本性质。

五、例题讲解

P7例2.填空：

[分析]应用分式的基本性质把已知的分子、分母同乘以或除以同一个整式，使分式的值不变。

P11例3.约分：

[分析] 约分是应用分式的基本性质把分式的分子、分母同除以同一个整式，使分式的值不变。所以要找准分子和分母的公因式，约分的结果要是最简分式。

P11例4.通分：

[分析] 通分要想确定各分式的公分母，一般的取系数的最小公倍数，以及所有因式的次幂的积，作为最简公分母。

（补充）例5.不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“-”号。

， ， ， ， 。

[分析]每个分式的分子、分母和分式本身都有自己的符号，其中两个符号同时改变，分式的值不变。

解： = ， = ， = ， = ， = 。

六、随堂练习

1.填空：

(1) = (2) =

（3) = (4) =

2.约分：

（1） （2） （3） （4）

3.通分：

（1） 和 （2） 和

（3） 和 （4） 和

4.不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“-”号。

(1) (2) （3) (4)

七、课后练习

1.判断下列约分是否正确：

（1） = （2） =

（3） =0

2.通分：

（1） 和 （2） 和

3.不改变分式的值，使分子第一项�

（1） （2）

八、答案：

六、1.(1)2x (2) 4b （3） bn+n (4)x+y

2.（1） （2） （3） （4）-2(x-y)2

3.通分：

（1） = ， =

（2） = ， =

（3） = =

（4） = =

4.(1) (2) （3) (4)

分 式 5

3.5三角形全等的判定(一)(1)

教学目标

1.    通过实际操作理解“学习三角形全等的四种判定方法”的必要性。

2.    比较熟练地掌握应用边角边公理时寻找非已知条件的方法和证明的分析法，初步培养学生的逻辑推理能力。

3.    初步掌握“利用三角形全等来证明线段相等或角相等或直线的平行、垂直关系等”的方法。

4.    掌握证明三角形全等问题的规范书写格式。

教学重点和难点

应用三角形的边角边公理证明问题的分析方法和书写格式。

教学过程 设计

一、          实例演示，发现公理

1.        教师出示几对三角形模板，让学生观察有几对全等三角形，并根据所学过的全等三角形的知识动手操作，加以验证，同时写出全等三角形的数学表达式。

2.        在此过程中应启发学生注意以下几点：

（1）             可用移动三角形使其重合的方法验证图3-49中的三对三角形分别全等，并根据图中已知的三对对应元素分别相等的条件，可以证明结论成立。如图3-49(c)中，由ab=ac=3cm,可将△abc绕a点转到b与c重合；由于∠bad=∠cae=120°，保证ad能与ae重合；由ad=ae=5cm,可得到d与e重合。因此△bad可与△cae重合，说明△bad≌△cae.

（2）             每次判断全等，若都根据定义检查是否重合是不便操作的，需要寻找更实用的判断方法——用全等三角形的性质来判定。

（3）             由以上过程可以说明，判定两个三角形全等，不必判断三条边、三个角共六对对应元素均相等，而是可以简化到特定的三个条件，引导学生归纳出：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。

3.画图加以巩固。

教师照课本上所叙述的过程带领学生分析画图步骤并画出图形，理解“已知两边及夹角画三角形”的方法，并加深对结论的印象。

二、          提出公理

1.板书边角边公理，指出它可简记为“边角边”或“sas”，说明记号“sas’的含义。

2.强调以下两点：

（1）使用条件：三角形的两边及夹角分别对应相等。

（2）使用时记号“sas”和条件都按边、夹角、边的顺序排列，并将对应顶点的字母顺序写在对应位置上。

3.板书定理证明应使用标准图形、文字及数学表达式，正确书写证明过程。

如图3-50，在△abc与△a’b’c’中，（指明范围）

三、应用举例、变式练习

1.充分发挥一道例题的作用，将条件、结论加以变化，进行变式练习，

例1已知：如图 3-51， ab＝cb，∠abd＝∠cbd.求证：△abd≌△cbd.

分析：将已知条件与边角边公理对比可以发现，只需再有一组对应边相等即可，这可由公共边相等 bd＝bd得到。

说明：（1）证明全等缺条件时，从图形本身挖掘隐含条件，如公共边相等、公共角相等、对顶角相等，等等。

（2）学习从结论出发分析证明思路的方法（分析法）.

分析：△abd≌△cbd

因此只能在两个等角分别所在的三角形中寻找与ab，cb夹两已知角的公共边bd.

（3）可将此题做条种变式练习：

练习1（改变结论）如图 3-51，已知 ab＝cb，∠abd＝∠cbd.求证：ad=cd，bd平分∠adc.

分析：在证毕全等的基础上，可继续利用全等三角形的性质得出对应边相等，即ad=cd；对应角相等∠adb=∠cdb，即bd平分∠adc.因此，通过证明两三角形全等可证明两个三角形中的线段相等或和角相关的结论，如两直线平行、垂直、角平分线等等。

练习2(改变条件）如图 3－51，已知 bd平分∠abc， ab＝ cb.求证： ∠a＝∠c.

分析：能直接使用的证明三角形全等的条件只有ab＝cb，所缺的其余条件分别由公共边相等、角平分线的定义得出。这样，在证明三角形全等之前需做一些准备工作。教师板书完整证明过程如下：

以上四步是证明两三角形全等的基本证明格式。

（4）将题目中的图形加以有规律地图形变换，可得到相关的一组变式练习，使刚才的解题思路得以充分地实施，并加强例题、习题之间的有机联系，熟悉常见图形，同时让学生总结常用的寻找所缺边、缺角条件的方法。

练习 3如图 3-52（c），已知 ab＝ae， ad＝af，∠ 1=∠2.求证： db=fe.

分析：关键由∠1＝∠2，利用等量公理证出∠bad＝∠eaf.

练习  4如图  3-52(d)，已知  a为 bc中点，  ae//bd，  ae＝bd.求证： ad//ce.

分析：由中点定义得出 ab＝ac；由  ae//bd及平行线性质得出∠abd=∠cae.

练习  5已知：如图  3-52(e）， ae//bd， ae＝db.求证： ab//de.

分析：由 ae//bd及平行线性质得出∠adb=∠dae；由公共边 ad＝da及已知证明全等。

练习6已知：如图3－52（f），ae//bd，ae＝db.求证：ab//de，ab＝de.

分析：通过添加辅助线——连结ad，构造两个三角形去证明全等。

练习 7已知：如图 3-52（g）， ba＝ef， df=ca，∠efd=∠cab.求证：∠b=∠e.

分析：由df＝ca及等量公理得出da＝cf；由∠efd＝∠cab及“等角的补角相等”得出∠bad＝∠efc.

练习8已知：如图3－52（h），be和cd交于a，且a为be中点，ec⊥cd于c,bd⊥cd于 d，  ce＝⊥bd.求证： ac＝ad.

分析：由于目前只有边角边公理，因此，必须将角的隐含条件——对顶角相等转化为已知两边的夹角∠b=∠e，这点利用“等角的余角相等”可以实现。

练习 9已知如图 3－52（i），点 c， f， a， d在同一直线上， ac＝fd， ce=db， ec⊥cd，bd⊥cd，垂足分别为 c和d.求证：ef//ab.

在下一课时中，可在图中连结ea及bf，进一步统习证明两次全等。

小结：在以上例1及它的九种变式练习中，可让学生归纳概括出目前常用的证明三角形全等时寻找非已知条件的途径。

缺边时：①图中隐含公共边；②中点概念；③等量公理④其它。

缺角时：①图中隐含公共角；②图中隐含对顶角；③三角形内角和及推论④角平分线定义；

⑤平行线的性质；⑥同（等）角的补（余）角相等；⑦等量公理；⑧其它。

例2已知：如图3－53，△abe和△acd均为等边三角形。求证：bd=ec.

分析：先选择bd和ec所在的两个三角形△abd与△aec，已知没有提供任一证两个三角形全等所需的直接条件，均需由等边三角形的定义提供。

四、师生共同归纳小结

1.证明两三角形全等的条件可由定义的六条件减弱到至少几个？边角边公理是哪三个

条件？

2.在遇到证明两三角形全等或用全等证明线段、角的大小关系时，最典型的分析问题的思路是怎样的？你体会这样做有些什么优点？

3.遇到证明两个三角形全等而边、角的直接条件不够时，可从哪些角度入手寻找非已知条件？

五、练习与作业

练习：课本第28页中第1题，第30页中1，3题。

作业 ：课本第32页中第6，7，8，9，10题。

课堂教学设计说明

本教学设计需2课时完成。

1.课本第3.5节内容安排3课时，前两课时学习三角形全等的边角边公理，重点练习直接应用公理及证明格式，初步学习寻找证明全等所需的非已知条件的方法，以及利用性质证明边角的数量关系及直线的位置关系，第3课时加以巩固并学习解决应用题和两次全等的问题。

2.本节将“理解全等三角形的判定方法的必要性“列为教学目标 之一，目的是引起教师和学生的重视，只有学生真正认识到了研究判定方法的必要性，才能从思想上接受判定方法，并发挥出他们的学习主动性。

3.本节课将“分析法和寻找证明全等三角形时非已知条件的方法”作为教学目标 之一，意在给学生归纳一些常用的解题思路，以便将它作为证明全等三角形的一种技能加以强化。

4.教材中将“利用证明两个三角形全等来证明线段或角相等”的方法做为例5出现，为时过晚，达不到训练的目的，因此教师应提前到第一、二课时，就教给学生分析的方法，并从各种角度加以训练。

5.教师可将例题1和几种变式练习制成投作影片（图3-52）提高课堂教学效率。教学使用时，重点放在题目的分析上，并体现出题目之间图形的变化和内在联系。

6.本节教学内容的两课时既教会学生分析全等问题的思路——分析法和寻找非已知条件的方法，又要求他们落实证明的规范步骤——准备条件，指明范围，列齐条件和得出结论，使学生遇到证明三角形全等的题目既会快速分析，又会正确表达。学生学生遇到证明三角形全等的题目既会快速分析，又会正确表达。节教学

3.5三角形全等的判定(一)(1)

教学目标

1.    通过实际操作理解“学习三角形全等的四种判定方法”的必要性。

2.    比较熟练地掌握应用边角边公理时寻找非已知条件的方法和证明的分析法，初步培养学生的逻辑推理能力。

3.    初步掌握“利用三角形全等来证明线段相等或角相等或直线的平行、垂直关系等”的方法。

4.    掌握证明三角形全等问题的规范书写格式。

教学重点和难点

应用三角形的边角边公理证明问题的分析方法和书写格式。

教学过程 设计

一、          实例演示，发现公理

1.        教师出示几对三角形模板，让学生观察有几对全等三角形，并根据所学过的全等三角形的知识动手操作，加以验证，同时写出全等三角形的数学表达式。

2.        在此过程中应启发学生注意以下几点：

（1）             可用移动三角形使其重合的方法验证图3-49中的三对三角形分别全等，并根据图中已知的三对对应元素分别相等的条件，可以证明结论成立。如图3-49(c)中，由ab=ac=3cm,可将△abc绕a点转到b与c重合；由于∠bad=∠cae=120°，保证ad能与ae重合；由ad=ae=5cm,可得到d与e重合。因此△bad可与△cae重合，说明△bad≌△cae.

（2）             每次判断全等，若都根据定义检查是否重合是不便操作的，需要寻找更实用的判断方法——用全等三角形的性质来判定。

（3）             由以上过程可以说明，判定两个三角形全等，不必判断三条边、三个角共六对对应元素均相等，而是可以简化到特定的三个条件，引导学生归纳出：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。

3.画图加以巩固。

教师照课本上所叙述的过程带领学生分析画图步骤并画出图形，理解“已知两边及夹角画三角形”的方法，并加深对结论的印象。

二、          提出公理

1.板书边角边公理，指出它可简记为“边角边”或“sas”，说明记号“sas’的含义。

2.强调以下两点：

（1）使用条件：三角形的两边及夹角分别对应相等。

（2）使用时记号“sas”和条件都按边、夹角、边的顺序排列，并将对应顶点的字母顺序写在对应位置上。

3.板书定理证明应使用标准图形、文字及数学表达式，正确书写证明过程。

如图3-50，在△abc与△a’b’c’中，（指明范围）

三、应用举例、变式练习

1.充分发挥一道例题的作用，将条件、结论加以变化，进行变式练习，

例1已知：如图 3-51， ab＝cb，∠abd＝∠cbd.求证：△abd≌△cbd.

分析：将已知条件与边角边公理对比可以发现，只需再有一组对应边相等即可，这可由公共边相等 bd＝bd得到。

说明：（1）证明全等缺条件时，从图形本身挖掘隐含条件，如公共边相等、公共角相等、对顶角相等，等等。

（2）学习从结论出发分析证明思路的方法（分析法）.

分析：△abd≌△cbd

因此只能在两个等角分别所在的三角形中寻找与ab，cb夹两已知角的公共边bd.

（3）可将此题做条种变式练习：

练习1（改变结论）如图 3-51，已知 ab＝cb，∠abd＝∠cbd.求证：ad=cd，bd平分∠adc.

分析：在证毕全等的基础上，可继续利用全等三角形的性质得出对应边相等，即ad=cd；对应角相等∠adb=∠cdb，即bd平分∠adc.因此，通过证明两三角形全等可证明两个三角形中的线段相等或和角相关的结论，如两直线平行、垂直、角平分线等等。

练习2(改变条件）如图 3－51，已知 bd平分∠abc， ab＝ cb.求证： ∠a＝∠c.

分析：能直接使用的证明三角形全等的条件只有ab＝cb，所缺的其余条件分别由公共边相等、角平分线的定义得出。这样，在证明三角形全等之前需做一些准备工作。教师板书完整证明过程如下：

以上四步是证明两三角形全等的基本证明格式。

（4）将题目中的图形加以有规律地图形变换，可得到相关的一组变式练习，使刚才的解题思路得以充分地实施，并加强例题、习题之间的有机联系，熟悉常见图形，同时让学生总结常用的寻找所缺边、缺角条件的方法。

练习 3如图 3-52（c），已知 ab＝ae， ad＝af，∠ 1=∠2.求证： db=fe.

分析：关键由∠1＝∠2，利用等量公理证出∠bad＝∠eaf.

练习  4如图  3-52(d)，已知  a为 bc中点，  ae//bd，  ae＝bd.求证： ad//ce.

分析：由中点定义得出 ab＝ac；由  ae//bd及平行线性质得出∠abd=∠cae.

练习  5已知：如图  3-52(e）， ae//bd， ae＝db.求证： ab//de.

分析：由 ae//bd及平行线性质得出∠adb=∠dae；由公共边 ad＝da及已知证明全等。

练习6已知：如图3－52（f），ae//bd，ae＝db.求证：ab//de，ab＝de.

分析：通过添加辅助线——连结ad，构造两个三角形去证明全等。

练习 7已知：如图 3-52（g）， ba＝ef， df=ca，∠efd=∠cab.求证：∠b=∠e.

分析：由df＝ca及等量公理得出da＝cf；由∠efd＝∠cab及“等角的补角相等”得出∠bad＝∠efc.

练习8已知：如图3－52（h），be和cd交于a，且a为be中点，ec⊥cd于c,bd⊥cd于 d，  ce＝⊥bd.求证： ac＝ad.

分析：由于目前只有边角边公理，因此，必须将角的隐含条件——对顶角相等转化为已知两边的夹角∠b=∠e，这点利用“等角的余角相等”可以实现。

练习 9已知如图 3－52（i），点 c， f， a， d在同一直线上， ac＝fd， ce=db， ec⊥cd，bd⊥cd，垂足分别为 c和d.求证：ef//ab.

在下一课时中，可在图中连结ea及bf，进一步统习证明两次全等。

小结：在以上例1及它的九种变式练习中，可让学生归纳概括出目前常用的证明三角形全等时寻找非已知条件的途径。

缺边时：①图中隐含公共边；②中点概念；③等量公理④其它。

缺角时：①图中隐含公共角；②图中隐含对顶角；③三角形内角和及推论④角平分线定义；

⑤平行线的性质；⑥同（等）角的补（余）角相等；⑦等量公理；⑧其它。

例2已知：如图3－53，△abe和△acd均为等边三角形。求证：bd=ec.

分析：先选择bd和ec所在的两个三角形△abd与△aec，已知没有提供任一证两个三角形全等所需的直接条件，均需由等边三角形的定义提供。

四、师生共同归纳小结

1.证明两三角形全等的条件可由定义的六条件减弱到至少几个？边角边公理是哪三个

条件？

2.在遇到证明两三角形全等或用全等证明线段、角的大小关系时，最典型的分析问题的思路是怎样的？你体会这样做有些什么优点？

3.遇到证明两个三角形全等而边、角的直接条件不够时，可从哪些角度入手寻找非已知条件？

五、练习与作业

练习：课本第28页中第1题，第30页中1，3题。

作业 ：课本第32页中第6，7，8，9，10题。

课堂教学设计说明

本教学设计需2课时完成。

1.课本第3.5节内容安排3课时，前两课时学习三角形全等的边角边公理，重点练习直接应用公理及证明格式，初步学习寻找证明全等所需的非已知条件的方法，以及利用性质证明边角的数量关系及直线的位置关系，第3课时加以巩固并学习解决应用题和两次全等的问题。

2.本节将“理解全等三角形的判定方法的必要性“列为教学目标 之一，目的是引起教师和学生的重视，只有学生真正认识到了研究判定方法的必要性，才能从思想上接受判定方法，并发挥出他们的学习主动性。

3.本节课将“分析法和寻找证明全等三角形时非已知条件的方法”作为教学目标 之一，意在给学生归纳一些常用的解题思路，以便将它作为证明全等三角形的一种技能加以强化。

4.教材中将“利用证明两个三角形全等来证明线段或角相等”的方法做为例5出现，为时过晚，达不到训练的目的，因此教师应提前到第一、二课时，就教给学生分析的方法，并从各种角度加以训练。

5.教师可将例题1和几种变式练习制成投作影片（图3-52）提高课堂教学效率。教学使用时，重点放在题目的分析上，并体现出题目之间图形的变化和内在联系。

6.本节教学内容的两课时既教会学生分析全等问题的思路——分析法和寻找非已知条件的方法，又要求他们落实证明的规范步骤——准备条件，指明范围，列齐条件和得出结论，使学生遇到证明三角形全等的题目既会快速分析，又会正确表达。学生学生遇到证明三角形全等的题目既会快速分析，又会正确表达。节教学

分 式 6

一、教学目标

1.使学生掌握的解法，能用去分母的方法或换元的方法求此类方程的解，并会验根。

2.通过本节课的教学，向学生渗透“转化”的数学思想方法；

3.通过本节的教学，继续向学生渗透事物是相互联系及相互转化的辨证唯物主义观点。

二、重点·难点·疑点及解决办法

1.教学重点：的解法。

2.教学难点：解分式方程，学生不容易理解为什么必须进行检验。

3.教学疑点：学生容易忽视对分式方程的解进行检验通过对分式方程的解的剖析，进一步使学生认识解分式方程必须进行检验的重要性。

4.解决办法：（l）分式方程的解法顺序是：先特殊、后一般，即能用换元法的方程应尽量用换元法解。（2）无论用去分母法解，还是换元法解分式方程，都必须进行验根，验根是解分式方程必不可少的一个重要步骤。（3）方程的增根具备两个特点，①它是由分式方程所转化成的整式方程的根②它能使原分式方程的公分母为0.

三、教学步骤

（一）教学过程

1.复习提问

（1）什么叫做分式方程？解可化为一元一次方程的分式方程的方法与步骤是什么？

（2）解可化为一元一次方程的分式方程为什么要检验？检验的方法是什么？

（3）解方程，并由此方程说明解方程过程中产生增根的原因。

通过（1）、（2）、（3）的准备，可直接点出本节的内容：的解法相同。

在教师点出本节内容的处理方法与以前所学的知识完全类同后，让全体学生对照前面复习过的分式方程的解，来进一步加深对“类比”法的理解，以便学生全面地参与到教学活动中去，全面提高教学质量。

在前面的基础上，为了加深学生对新知识的理解，教师与学生共同分析解决例题，以提高学生分析问题和解决问题的能力。

2.例题讲解

例1  解方程。

分析  对于此方程的解法，不是教师讲如何如何解，而是让学生对已有知识的回忆，使用原来的方法，去通过试的手段来解决，在学生叙述过程中，发现问题并及时纠正。

解：两边都乘以，得

去括号，得

整理，得

解这个方程，得

检验：把代入，所以是原方程的根。

∴  原方程的根是。

虽然，此种类型的方程在初二上学期已学习过，但由于相隔时间比较长，所以有一些学

生容易犯的类型错误应加以强调，如在第一步中。需强调方程两边同时乘以最简公分母。另

外，在把分式方程转化为整式方程后，所得的一元二次方程有两个相等的实数根，由于是解

分式方程，所以在下结论时，应强调取一即可，这一点，教师应给以强调。

例2  解方程

分析：解此方程的关键是如何将分式方程转化为整式方程，而转化为整式方程的关键是

正确地确定出方程中各分母的最简公分母，由于此方程中的分母并非均按的降幂排列，所

以将方程的分母作一转化，化为按字母终X进行降暴排列，并对可进行分解的分母进行分解，从而确定出最简公分母。

解：方程两边都乘以，约去分母，得

整理后，得

解这个方程，得

检验：把代入，它不等于0，所以是原方程的根，把

代入它等于0，所以是增根。

∴   原方程的根是

师生共同解决例1、例2后，教师引导学生与已学过的知识进行比较。

例3  解方程。

分析：此题也可像前面例l、例2一样通过去分母解决，学生可以试，但由于转化后为一元四次方程，解起来难度很大，因此应寻求简便方式，通过引导学生仔细观察发现，方程中含有未知数的部分  和互为倒数，由此可设  ，则可通过换元法来解题，通过求出y后，再求原方程的未知数的值。

解：设，那么，于是原方程变形为

两边都乘以y，得

解得

.

当时，，去分母，得

解得；

当时，，去分母整理，得

，

检验：把分别代入原方程的分母，各分母均不等于0.

∴  原方程的根是

，.

此题在解题过程中，经过两次“转化”，所以在检验中，把所得的未知数的值代入原方程中的分母进行检验。

巩固练习：教材P49中1、2引导学笔答。

（二）总结、扩展

对于小结，教师应引导学生做出。

本节内容的小结应从所学习的知识内容、所学知识采用了什么数学思想及教学方法两方面进行。

本节我们通过类比的方法，在已有的解可化为一元一次方程的分式方程的基础上，学习了的解法，在具体方程的解法上，适用了“转化”与“换元”的基本数学思想与基本数学方法。

此小结的目的，使学生能利用“类比”的方法，使学过的知识系统化、网络化，形成认知结构，便于学生掌握。

四、布置作业

1.教材P50中A1、2、3.

2.教材P51中B1、2

五、板书设计

探究活动1

解方程：

分析：若去分母，则会变为高次方程，这样解起来，比较繁，注意到分母中都有，可用换元法降次

设，则原方程变为

∴

∴或无解

∴

经检验：是原方程的解

探究活动2

有农药一桶，倒出8升后，用水补满，然后又倒出4升，再用水补满，此时农药与水的比为18：7，求桶的容积。

解：设桶的容积为 升，第一次用水补满后，浓度为 ，第二次倒出的农药数为4. 升，两次共倒出的农药总量（8＋4· ）占原来农药 ，故

整理，

（舍去）

答：桶的容积为40升。

分 式 7

一、教学目标 

1.使学生理解并掌握分式的概念，了解有理式的概念；

2.使学生能够求出分式有意义的条件；

3.通过类比分数研究分式的教学，培养学生运用类比转化的思想方法解决问题的能力；

4.通过类比方法的教学，培养学生对事物之间是普遍联系又是变化发展的辨证观点的再认识。

二、重点、难点、疑点及解决办法

1.教学重点和难点    明确分式的分母不为零。

2.疑点及解决办法    通过类比分数的意义，加强对分式意义的理解。

三、教学过程 

【新课引入】

前面所研究的因式分解问题是把整式分解成若干个因式的积的问题，但若有如下问题：某同学分钟做了60个仰卧起坐，每分钟做多少个？可表示为，问，这是不是整式？请一位同学给它试命名，并说一说怎样想到的？（学生有过分数的经验，可猜想到分式）

【新课】

1.分式的定义

（1）由学生分组讨论分式的定义，对于“两个整式相除叫做分式”等错误，由学生举反例一一加以纠正，得到结论：

用、表示两个整式，就可以表示成的形式。如果中含有字母，式子就叫做分式。其中叫做分式的分子，叫做分式的分母。

（2）由学生举几个分式的例子。

（3）学生小结分式的概念中应注意的问题。

①分母中含有字母。

②如同分数一样，分式的分母不能为零。

（4）问：何时分式的值为零？［以（2）中学生举出的分式为例进行讨论］

2.有理式的分类

请学生类比有理数的分类为有理式分类：

例1  当取何值时，下列分式有意义？

（1）；

解：由分母得。

∴当时，原分式有意义。

（2）；

解：由分母得。

∴当时，原分式有意义。

（3）；

解：∵恒成立，

∴取一切实数时，原分式都有意义。

（4）.

解：由分母得。

∴当且时，原分式有意义。

思考：若把题目要求改为：“当取何值时下列分式无意义？”该怎样做？

例2  当取何值时，下列分式的值为零？

（1）；

解：由分子得。

而当时，分母。

∴当时，原分式值为零。

小结：若使分式的值为零，需满足两个条件：①分子值等于零；②分母值不等于零。

（2）；

解：由分子得。

而当时，分母，分式无意义。

当时，分母。

∴当时，原分式值为零。

（3）；

解：由分子得。

而当时，分母。

当时，分母。

∴当或时，原分式值都为零。

（4）.

解：由分子得。

而当时，，分式无意义。

∴没有使原分式的值为零的的值，即原分式值不可能为零。

（四）总结、扩展

1.分式与分数的区别。

2.分式何时有意义？

3.分式何时值为零？

（五）随堂练习

1.填空题：

（1）当时，分式的值为零

（2）当时，分式的值为零

（3）当时，分式的值为零

2.教材P55中1、2、3.

八、布置作业

教材P56中A组3、4；B组（1）、（2）、（3）.

九、板书设计 

课题 例1

1.定义 例2

2.有理式分类

分 式 8

各位评委：

下午好！今天我说课的题目是《分式的乘除法(第1课时)》，所选用是人教版的教材。根据新课标的理念，对于本节课，我将以教什么，怎样教，为什么这样教为思路，从说教材、说学情、说教法学法、说教学过程、说板书等五个方面加以说明。

一、 说教材

(一)教材的地位和作用

本节教材是八年级数学第十六章第二节第一课时的内容，是初中数学的重要内容之一。一方面，这是在学习了分式基本性质、分式的约分和因式分解的基础上，进一步学习分式的乘除法；另一方面，又为学习分式加减法和分式方程等知识奠定了基础。因此，本节课在整个的初中数学的学习中起着承上启下的过渡作用。

(二)教学目标分析

根据新课标的要求和本节课内容特点，考虑到年级学生的知识水平，以及对教材的地位与作用的分析，我制定了如下三维教学目标：

1.认知目标：理解并掌握分式的乘除法法则，能进行简单的分式乘除法运算，能解决一些与分式乘除有关的实际问题。

2.技能目标：经历从分数的乘除法运算到分式的乘除法运算的过程，培养学生类比的探究能力，加深对从特殊到一般数学的思想认识。

3.情感目标：教学中让学生在主动探究，合作交流中渗透类比转化的思想，使学生在学知识的同时感受探索的乐趣和成功的体验。

(三)教学重难点

本着课程标准，在充分理解教材的基础上，我确立了如下的教学重点、难点：

教学重点：运用分式的乘除法法则进行运算。

教学难点：分子、分母为多项式的分式乘除运算。

下面，为了讲清重点难点，使学生能达到本节课的教学目标，我再从教法和学法上谈谈：

二、说学情

1.学生已经学习分式基本性质、分式的约分和因式分解，通过与分数的乘除法类比，促进知识的正迁移。

2.八年级的学生接受能力、思维能力、自我控制能力都有很大变化和提高，自学能力较强，通过类比学习加快知识的学习。

三、说教法学法

(一)说教法

教学方式的改变是新课标改革的目标，新课标要求把过去单纯的老师讲，学生接受的教学方式，变为师生互动式教学。师生互动式教学以教学大纲为依据，渗透新的教育理念，遵循教师主导、学生为主体的原则，结合本节课的内容特点和学生的年龄特征，本节课我采用启发式、讨论式以及讲练结合的教学方法，以问题的提出、问题的解决为主线，倡导学生主动参与教学实践活动，以师生互动的形式，在教师的指导下突破难点：分式的乘除法运算，在例题的引导分析时，教学中应予以简单明白，深入浅出的分析本课教学难点：分子、分母为多项式的分式乘除运算。让学生在练习题中巩固难点，从真正意义上完成对知识的自我建构。

另外，在教学过程中，我采用多媒体辅助教学，以直观呈现教学素材，从而更好地激发学生的学习兴趣，增大教学容量，提高教学效率。

(二)说学法

从认知状况来说，学生在此之前对分数乘除法运算比较熟悉，加上对本章第一节分式及其性质学习，抓住初中生具有丰富的想象能力和活跃的思维能力，爱发表见解，希望得到老师的表扬这些心理特征，因此，我认为本节课适合采用学生自主探索、合作交流的数学学习方式。一方面运用实际生活中的问题引入，激发学生的兴趣，使他们在课堂上集中注意力；另一方面，由于分式的乘除法法则与分数的乘除法法则类似，以类比的方法得出分式的乘除法则，易于学生理解、接受，让学生在自主探索、合作交流中加深理解分式的乘除运算，充分发挥学生学习的主动性。不但让学生“学会”还要让学生“会学”

四、说教学过程

新课标指出，数学教学过程是教师引导学生进行学习活动的过程，是教师和学生间互动的过程，是师生共同发展的过程。为有序、有效地进行教学，接下来，我再具体谈谈本节课的教学过程安排：

(一)提出问题，引入课题

俗话说：“好的开端是成功的一半”同样，好的引入能激发学生兴趣和求知欲。因此我用实际出发提出现实生活中的问题：

问题1求容积的高是 ，(引出分式乘法的学习需要)。

问题2求大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的倍，(引出分式除法的学习需要)。

从实际出发，引出分式的乘除的实在存在意义，让学生感知学习分式的乘法和除法的实际需要，从而激发学生兴趣和求知欲。

(二)类比联想，探究新知

从学生熟悉的分数的乘除法出发，引发学生的学习兴趣。(1) (2)

解后总结概括：(1)式是什么运算？依据是什么？(2)式又是什么运算？依据是什么？能说出具体内容吗？(如果有困难教师应给于引导)

(学生应该能说出依据的是：分数的乘法和除法法则)教师加以肯定，并指出与分数的乘除法法则类似，引导学生类比分数的乘除法则，猜想出分式的乘除法则。

【分式的乘除法法则 】

乘法法则：分式乘以分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。

除法法则：分式除以分式， 把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。

用式子表示为：

设计意图：由于分式的乘除法法则与分数的乘除法法则类似，故以类比的方法得出分式的乘除法则，易于学生理解、接受，体现了自主探索，合作学习的新理念。

(三)例题分析，应用新知

师生活动：教师参与并指导，学生独立思考，并尝试完成例题。

P11的例1，在例题分析过程中，为了突出重点，应多次回顾分式的乘除法法则，使学生耳熟能详。P11例2是分子、分母为多单项式的分式乘除法则的运用，为了突破本节课的难点我采取板演的形式，和学生一起详细分析，提醒学生关注易错易漏的环节，学会解题的方法。

(四)练习巩固，培养能力

P13练习第2题的(1)(3)(4)与第3题的(2)

师生活动：教师 出示问题，学生独立思考解答，并让学生板演或投影展示学生的解题过程。

通过这一环节，主要是为了通过课堂跟踪反馈，达到巩固提高的目的，进一步熟练解题的思路，也遵循了巩固与发展相结合的原则。让学生板演，一是为了暴露问题，二是为了规范解题格式和结果。

(五)课堂小结，回扣目标

引导学生自主进行课堂小结：

1.本节课我们学习了哪些知识？

2.在知识应用过程中需要注意什么？

3.你有什么收获呢？

师生活动：学生反思，提出疑问，集体交流。

设计意图：学习结果让学生作为反馈，让他们体验到学习数学的快乐，在交流中与全班同学分享，从而加深对知识的理解记忆。

(六)布置作业

教科书习题6.2 第1、2(必做) 练习册P (选做)，我设计了必做题和选做题，必做题是对本节课内容的一个反馈，选做题是对本节课知识的一个延伸。总的设计意图是反馈教学，巩固提高。

五、说板书设计

在本节课中我将采用提纲式的板书设计，因为提纲式-条理清楚、从属关系分明，给人以清晰完整的印象，便于学生对教材内容和知识体系的理解和记忆。

分 式 9

在本课的教学过程中，我认为应从这样的几个方面入手：

1. 分式方程和整式方程的区别：分清楚分式分式方程必须满足的两个条件，⑴方程式里必须有分式，⑵分母中含有未知数。这两个条件是判断一个方程是否为分式方程的充要条件。同时，由于分母中含有未知数，所以将其转化为整式方程后求出的解就应使每一个分式有意义，否则，这个根就是原方程的增根。正是由于分式方程与整式方程的区别，在解分式方程时必须进行检验。

2. 分式方程和整式方程的联系：分式方程通过方程两边都乘以最简公分母，约去分母，就可以转化为整式方程来解，教学时应充分体现这种化归思想的教学。

3.  解分式方程时，如果分母是多项式时，应先写出将分母进行因式分解的步骤来，从而让学生准确无误地找出最简公分母

4. 对分式方程可能产生增根的原因，要启发学生认真思考和讨论。

分 式 10

第一课时

（一）教学过程 

【复习提问】

1.分式的定义？

2.分数的基本性质？有什么用途？

【新课】

1.类比分数的基本性质，由学生小结出：

分式的分子与分母乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变，即：

，

（其中是不等于零的整式。）

2.加深对分式基本性质的理解：

例1  下列等式的右边是怎样从左边得到的？

（1）；

由学生口述分析，并反问：为什么？

解：∵

∴.

（2）；

学生口答，教师设疑：为什么题目未给的条件？（引导学生学会分析题目中的隐含条件。）

解：∵

∴.

（3）

学生口答。

解：∵，

∴.

例2  填空：

（1）；

（2）；

（3）；

（4）.

把学生分为四人一组开展竞赛，看哪个组做得又快又准确，并能小结出填空的依据。

例3  不改变分式的值，把下列各式的分子与分母中各项的系数都化为整数。

（1）；

分析学生讨论：①怎样才能不改变公式的值？②怎样把分子分母中各项系数都化为整数？

解：.

（2）.

解：.

例4  判断取何值时，等式成立？

学生分组讨论后得出结果：

∴.

（二）随堂练习

1.当为何值时，与的值相等

A.B.C.D.

2.若分式有意义，则，满足条件为（ ）

A.B.C.D.以上答案都不对

3.下列各式不正确的是（ ）

A.B.

C.D.

4.若把分式的和都扩大两倍，则分式的值

A.扩大两倍 B.不变

C.缩小两倍 D.缩小四倍

（三）总结、扩展

1..

2.性质中的可代表任何非零整式。

3.注意挖掘题目中的隐含条件。

4.利用将分式的分子、分母化成整系数形式，体现了数学化繁为简的策略，并为分式作进一步处理提供了便利条件。

（四）布置作业

教材P61中2、3；P62中B组的1

（五）板书设计 

分 式 11

学习辅导：（1）第一课时  9.1 一、学习目标1.掌握、有理式的概念。2.掌握是否有意义、的值是否等于零的识别方法。二、重点难点重点是正确理解的意义，是否有意义的条件及的值为零的条件，也是本节的难点。1.的概念：一般地，形如 的式子叫做，其中A和B均为整式，B中含有字母。2.是否有意义的识别方法：当的分母为零时，无意义；当的分母不等于零时，有意义。3.的值是否为零的识别方法：当的分子是零而分母不等于零时，的值等于零。4.对整式、的正确区别：的分子和分母都是整式，分子可以含有字母，也可以不含有字母，而分母中必须含有字母，这是与整式的根本区别。三、解题方法指导【例1】下列各式哪些是，哪些是整式？① ＋m2  ②1＋x＋y2－   ③   ④ ⑤    ⑥      ⑦ 答案：②、④、⑤是，①、③、⑥、⑦是整式。说明：此题主要考查对的概念的理解，区分两者的关键是看分母中是否含有字母。③中的π是一个具体的数而不是字母，不要误认为③是，整式可以有字母，只要分母不含字母就不是。【例2】当x取什么值时， 有意义？解：由分母x2－4=0，得x=±2。∴  当x≠±2时， 有意义。说明：考查有无意义，取决于的分母的值是否为零，即只考虑分母即可。注意，因为的分子、分母有公因式x＋2，倘若先将公因式约去得 ，此时分母的字母取值范围为x≠2，这样就扩大了字母的允许值。所以不能先约去公因式。【例3】当x取什么数时， ①有意义？               ②值为零？分析：当分母等于零时，没有意义。当分子等于零而分母不等于零时，的值为零。解：①由分母x2－8x＋15=0，得(x－3)(x－5)=0。∴  x1=3，x2=5。∴  当x≠3和x≠5时， 有意义。②由分子 －3=0，得x=±3。当x=3时，分母x2－8x＋15=0；当x=－3时，分母x2－8x＋15≠0。∴  当x=－3时， 的值为零。说明：有无意义，取决于分母中字母取值是否使分母为零，所以只考虑分母即可。要使的值为零，必须在有意义的前提下考虑，既要考虑字母取值使分子为零，又要考虑分母是否为零，两者缺一不可。四、激活思维训练▲知识点：在什么情况下有意义【例】当x为何值时， 有意义？分析：因为是繁，有多层分母，每层分母都必须不为零，繁才有意义。解： =∴            即  ∴  当x≠±1且x≠0时， 有意义。五、基础知识检测1.填空题：（1）如果B中        ，式子 叫做，其中A叫做的           ，B叫做的          。（2）在中，分母               。（3）         和          统称有理式。（4）当x=        时， 无意义。（5）当x=        时， 的值为零；当 =0时，x=        。（6） =成立的条件是        。（7）当x       时， 有意义。2.选择题：（1）下列说法正确的是                           A.形如 的式子叫B.分母不等于零，有意义C.的值等于零，无意义D.等于零，的值就等于零（2）已知有理式： 、 、 、 、 x2、 ＋4，其中有                                                 A.2个       B.3个       C.4个       D.5个（3）使 有意义的x的值是              A.4a                       B.－4aC.±4a                     D.非±4a的一切实数（4）使 的值为零的x的值是          A.4m                       B.－4mC.±4m                     D.非±4m的一切实数3.解答下列各题：（1）当x取什么数时， 有意义？（2）当x为何值时， 无意义？（3）若 无意义，求x的值。六、创新能力运用1.已知 （1）当x为何值时，无意义？（2）当x为何值时，的值为零？（3）当x为何值时，的值为－1？2.当x为何值时，下列的值为正？（1）                （2）  参考答案【基础知识检测】1.（1）含有字母、分子、分母（2）不等于零             （3）整式、（4）x=                 （5）x=－ ，x=±3（6）x≠－5               （7）x≠－ 2.（1）B      （2）B      （3）D       （4）B3.（1）x≠±1             （2）x=（3）x=±4【创新能力运用】1.（1）x=               （2）x=（3）x=2.（1）x>3或x<－3        （2）x> 或x<－2教学后记

分式的运算教学设计 12

一、学生知识状况分析

知识技能基础：学生在小学已经学过分数的乘除法，掌握了分数的乘除法法则，在学习分式的乘除法法则时可通过与分数的乘除法法则进行类比学习。在前面学习了整式乘法和因式分解，为分式的运算和结果的化简奠定基础。

能力基础：

在过去的数学学习过程中，学生已初步具备观察、分析、归纳的能力和类比的学习方法。

二、教学任务分析

具体学习任务分析：本节课的重点是分式乘除法的法则及应用，难点是分子、分母是多项式的分式的乘除法的运算。分式的乘除法与分数的乘除法类似，所以可通过类比，探索分式的乘除运算法则的过程，会进行简单的分式的乘除法运算，分式运算的结果要化成最简分式和整式，也就是分式的约分，要求学生能解决一些与分式有关的简单的实际问题。因此，本课时的教学目标是：

1.类比分数的乘除运算法则，探索分式的乘除运算法则。

2.理解分式的乘除运算法则，会进行简单的分式的乘除法运算

3.能解决一些与分式有关的简单的实际问题。

4.通过师生讨论、交流，培养学生合作探究的意识和能力。

三、教学过程分析

第一环节复习旧知识

复习小学学过的分数的乘除法运算。

活动内容

1、计算，并说出分数的乘除法的法则：

分数乘以分数，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母；分数除以分数，把除数的分子分母颠倒位置，与被除数相乘。

活动目的：

复习小学学过的分数的乘除法运算，为学习分式乘除法的法则做准备。

教学效果：

学生能准确的说出分数的乘除法运算法则。

第二环节引入新课

活动内容猜一猜：

你能总结分式乘除法的法则吗？与同伴交流。

分式的乘除法的法则：

两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母；

两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘。

活动目的：

让学生观察运算，通过小组讨论交流，并与分数的乘除法的法则类比，让学生自己总结出分式的乘除法的法则。

教学效果：

通过类比分数的乘除法的法则，学生明白字母代表数，这样很顺利的得出分式的乘除法的`法则。

第三环节知识运用

活动目的：

通过例题讲解，使学生会根据法则，理解每一步的算理，从而进行简单的分式的乘除法运算，并能解决一些与分式有关的简单的实际问题，增强学生代数推理的能力与应用意识。需要给学生强调的是分式运算的结果通常要化成最简分式或整式，对于这一点，很多学生在开始学习分式计算时往往没有注意到结果要化简。

教学效果：

学生能将算式对照乘除法的法则进行运算，在运算结果中，如果不是最简分式往往忘记约分，因式分解在分式约分中起到重要作用，对于分子、分母是多项式的分式的乘除法的运算时，一般先分解因式，并在运算过程中约分，可以是运算简化。

通常购买同一品种的西瓜时，西瓜的质量越大，花费的钱越多，因此人们希望西瓜瓤占整个西瓜的比例越大越好。假如我们把西瓜都看成球形，并把西瓜瓤的密度看成是均匀的，西瓜的皮厚都是d,已知球的体积公式为(其中R为球的半径),那么，(1)西瓜瓤与整个西瓜的体积各是多少？

(2)西瓜瓤与整个西瓜的体积的比是多少？

(3)�

(1)乘法运算步骤是，①用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母；②把分式积中的分子与分母分别写成分子与分母的分因式与另一个因式的乘积形式，如果分子(或分母)的符号是负号，应把负号提到分式的前面；③约分

(2)除法的运算步骤是，把除式中的分子与分母颠倒位置后，与被除式相乘，其它与乘法运算步骤相同。

当分式的分子、分母中有多项式，①先分解因式；②如果分子与分母有公因式，先约分再计算。

③如果分式的分子(或分母)的符号是负号时，应把负号提到分式的前面。

最后的计算结果必须是最简分式。

第四环节课堂反馈

活动内容：

化简

对本节知识进行巩固练习

教学效果：

在总结出分式乘除法的运算步骤后，大部分学生能很好的掌握，但是还有些学生忘记运算结果要化成最简形式，老师要及时提醒学生。式的知识没掌握好，将会影响到分式的运算，所以有的学生有必要复习和巩固一下分解因式的知识。

分式的运算教学设计 13

教学目标

知识与技能：理解并掌握分式的乘除法法则，能进行简单的分式乘除法运算，能解决一些与分式乘除有关的实际问题。

过程与方法：经历从分数的乘除法运算到分式的乘除法运算的过程，培养学生类比的探究能力，加深对从特殊到一般数学的思想认识。

情感态度和价值观：

1.教学中让学生在主动探究，合作交流中渗透类比转化的思想，使学生在学知识的同时感受探索的乐趣和成功的体验，获得成就感。

2.培养学生的创新意识和应用数学的意识。

学情分析

从认知状况来说，学生在此之前对分数乘除法运算比较熟悉，加上对本章第一节分式及其性质学习，抓住初中生具有丰富的想象能力和活跃的思维能力，爱发表见解，希望得到老师的表扬这些心理特征，因此，我认为本节课适合采用学生自主探索、合作交流的数学学习方式。一方面运用实际生活中的问题引入，激发学生的兴趣，使他们在课堂上集中注意力；另一方面，由于分式的乘除法法则与分数的乘除法法则类似，以类比的方法得出分式的乘除法则，易于学生理解、接受，让学生在自主探索、合作交流中加深理解分式的乘除运算，充分发挥学生学习的主动性。不但让学生“学会”还要让学生“会学”

重点难点

重点：理解并掌握分式乘除法法则及应用。

难点：分子分母是多项式的分式的乘除法运算。

教学过程

第一学时

教学活动活动1

【导入】一、创设情境，导入新知

活动1：提出问题，引入课题

引入：一盒果汁有4/5升，每个杯子可以装3/10升，则1/3杯果汁有多少升？一盒果汁可以倒满几倍？

问题1：一个长方体容器的容积为V,底面的长为a,宽为b,当容器内的水占容积的

时，水高为多少？

问题2：大拖拉机m天耕地a公顷，小拖拉机n天耕地b公顷，大拖拉机的工作效率是小拖拉机的。工作效率的多少倍？

问题1：求得水的高：

问题2：大拖拉机的工作效率是小拖拉机的

倍

教师活动：教师引导学生观察分析以上两式的特点得出它们分别是分式的乘法和除法。

从上面的问题可知，解决生活中的问题有时需要进行分式的乘除运算，那么分式的乘除是怎样运算的呢？这是我们本节课要学习的内容。

学生活动（解决问题）：学生动手操作，探究规律，激发学生学习兴趣。

【设计意图：从生活中的问题引入，让学生感受到学习分式乘除运算是生产和生活的实际需要，从而激发学生的兴趣。】

活动2【活动】二、合作交流，探索新知

问题2：以学生为主体，鼓励学生进行类比探究，让学生根据分数的乘除法法则类比探究得出分式的乘除法法则。教师巡视，观察学生探究的情况，对学习有困难的学生给以指导。

1.学生独立完成问题1和问题2的结果。

2.学生通过类比分数的乘除法则，探究分式的乘除法则。

3.小组之间交流结果，并总结规律性的结论。

乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。

除法法则：分式除以分式，把除式的分子，分母颠倒位置后，与被除式相乘。

用式子表示为：

【设计意图：把自主权交给学生，体现了自主探索，合作学习的新理念，遵循“教师主导，学生为主体”原则。】

活动3【练习】学以致用巩固新知

（1）运算结果应约分到最简。

（2）分式除法应：“颠倒相乘”。

（3）运算中，先判断运算符号，再计算结果。

【设计意图：例题采取学生自主运用新知识代替单纯的教师讲授，这是对教学方法的一大胆尝试。在活动中，使到能正确解题的学生获得成就感，同时也使还不能完全正确解题的学生发现自己存在的问题，通过学生小组合作，熟练掌握法则，为运用法则行正确计算奠定基础。】

师生活动：教师提问，学生通过自主探究、合作交流，发现规律，训练发展学生与他人交流、合作的意识。在证明过程中体会所运用的归纳、类比数学思想方法；

例2计算：

例2是例1的拓展，也是本节课的难点，学生在独立完成时，应提醒学生先分解因式后再运用法则进行运算。解题时应注意：

分子、分母为多项式时，先将多项式分解因式，再约分。

【设计意图：这道例题都主要是为了检测学生的举一反三的能力，达到巩固提高的目的，进一步熟练解题的思路，遵循了巩固与发展相结合的原则。一是为了训练法则掌握情况，二是熟练掌握和应用新旧知识的联系。】

活动4【练习】学以致用，运用新知

1.练一练

2.试一试3.闯一闯

活动5【讲授】归纳与总结

（1）熟练掌握并应用分式的乘除法法则进行运算；

（2）因式分解在分式乘除法中的灵活应用；

（3）运算结果要最简；

（4）乘除混合运算统 】

活动7【讲授】教学反思

1、选取学生熟悉的分数的乘除运算问题，用类比的思想方法学习归纳出分式乘除法的运算法则，学生感到轻松容易的掌握了分式乘除法的运算，激发了学生的学习兴趣。

2、针对本节课内容我设计一系列有梯度的问题，并采取小组合作形式。课堂气氛活跃，生学习热情比较高。课堂学习效果较好。

3、学生能力的培养，创设良好的问题情境，强化问题意识，激发学生的求知欲；培养学生敢于独立思考，敢于探索、敢于质疑的习惯；培养学生善于观察的习惯和心里品质；培养学生良好的思维习惯，教会学生在多方面思考问题，多角度解决问题的能力。

存在的问题：

（1）由于部分学生计算能力欠缺，算上还出现问题。在以后的教学中还应加强计算能力的培养。

（2）教学效果还有些欠缺，争取以后在课堂上让学生思维活跃，气氛热烈，学生受益面大，不同程度学生在原有的基础上都有进步。知识、能力、情感目标都能达到，让学生学的轻松，积极性高，当堂问题当堂解决。